若 ppp 为非零实数，对于正实数 x1,…,xnx_1,\dots,x_nx1​,…,xn​ 的 ppp 次幂平均为：

Mp(x1,…,xn)=(1n∑i=1nxip)1pM_p(x_1,\dots,x_n)=\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}} Mp​(x1​,…,xn​)=(n1​i=1∑n​xip​)p1​

特别地，给出 M0(x1,…,xn)M_0(x_1,\dots,x_n)M0​(x1​,…,xn​) 的定义，中间用一步洛必达即可：

M0(x1,…,xn)=lim⁡p→0Mp(x1,…,xn)=lim⁡p→0(1n∑i=1nxip)1p=lim⁡p→0exp⁡(ln⁡(1n∑i=1nxip)p)=lim⁡p→0exp⁡(1n∑i=1nxipln⁡xi1n∑j=1nxjp)=exp⁡(1n∑i=1nln⁡xi)=(∏i=1nxi)1n\begin{aligned} M_0(x_1,\dots,x_n)&=\lim_{p\to 0}M_p(x_1,\dots,x_n)\\ &=\lim_{p\to 0}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &=\lim_{p\to 0}\exp\left(\frac{\ln(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i^p)}{p}\right)\\ &=\lim_{p\to 0}\exp\left(\frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\ln x_i}{\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n x_j^p}\right)\\ &=\exp\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\ln x_i\right)\\ &=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\frac{1}{n}} \end{aligned} M0​(x1​,…,xn​)​=p→0lim​Mp​(x1​,…,xn​)=p→0lim​(n1​i=1∑n​xip​)p1​=p→0lim​exp(pln(n1​∑i=1n​xip​)​)=p→0lim​exp(n1​∑j=1n​xjp​n1​∑i=1n​xip​lnxi​​)=exp(n1​i=1∑n​lnxi​)=(i=1∏n​xi​)n1​​

同时，给出 M+∞(x1,…,xn)M_{+\infin}(x_1,\dots,x_n)M+∞​(x1​,…,xn​) 的定义，设 xk=max⁡{x1…,xn}x_k=\max\{x_1\dots,x_n\}xk​=max{x1​…,xn​} 有：

M+∞(x1,…,xn)=lim⁡p→+∞Mp(x1,…,xn)=lim⁡p→+∞(1n∑i=1nxip)1p=lim⁡p→+∞(xkpn∑i=1n(xixk)p)1p=xk=max⁡{x1,…,xn}\begin{aligned} M_{+\infin}(x_1,\dots,x_n)&=\lim_{p\to +\infin} M_p(x_1,\dots,x_n)\\ &=\lim_{p\to+\infin}\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &=\lim_{p\to +\infin}\left(\frac{x_k^p}{n}\sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i}{x_k}\right)^p\right)^{\frac{1}{p}}\\ &=x_k=\max\{x_1,\dots,x_n\} \end{aligned} M+∞​(x1​,…,xn​)​=p→+∞lim​Mp​(x1​,…,xn​)=p→+∞lim​(n1​i=1∑n​xip​)p1​=p→+∞lim​(nxkp​​i=1∑n​(xk​xi​​)p)p1​=xk​=max{x1​,…,xn​}​

类似地，有 M−∞(x1,…,xn)=min⁡{x1,…,xn}M_{-\infin}(x_1,\dots,x_n)=\min\{x_1,\dots,x_n\}M−∞​(x1​,…,xn​)=min{x1​,…,xn​}。

对于实数 p,qp,qp,q 若 p